Математика 

Печать

1. Достаточное условие возрастания и убывания функции.

   Теорема. 1) Если функция f(x), имеющая производную на отрезке [a, b], возрастает на этом отрезке, то ее производная на отрезке [a, b] не отрицательна, т. e. f' (x) ≥ 0.

2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b] и диффе­ренцируема в промежутке (a, b), причём f' (x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [а, b].

   Доказательство. Докажем сначала первую часть теоремы. Пусть f(x) возрастает на отрезке [a, b]. Придадим аргументу x при­ращение : и

   Так как f(x) — функция возрастающая, то  при и при .

   В обоих случаях , а следовательно, , т. е. f’(x)≥0, что и требовалось доказать. (Если бы было f' (x)< 0, то при достаточно малых значениях : отношение (1) было бы от­рицательным, что противоречит соотношению (2).)

   Докажем теперь вторую часть теоремы. Пусть f ' (x) > 0 при всех значениях x, принадлежащих промежутку (a, b).

   Рассмотрим два любых значения х1 и х2, х1 < х2, принадлежащих отрезку [a, b].

По теореме Лагранжа о конечных приращениях имеем:       

   По условию f’( )>0, следовательно, f(x2)-f(x1)>0, а это и значит, что f(x) - возрастающая функция.

   Аналогичная теорема имеет место и для убывающей (дифференцируемой) функции, а именно.

   Если f(x) убывает на отрезке [a,b], то f(x)^,0 на этом отрезке. Если f(x)<0 в промежутке (a, b), то f(x) убывает

 

на отрезке [a, b]. (Конечно, мы и здесь предполагаем, что функция непрерывна во всех точках отрезка [a, b] и дифференцируема всюду на (a, b).)

3aмeчaниe. Доказанная теорема выражает следующий геометри­ческий факт. Если на отрезке [a, b] функция f(x) возрастает, то касательная к кривой y=f(x) в каждой точке на этом отрезке об­разует c осью Ох оcтpый угол φ или - в отдельных точках - горизонтальна; тангенс этого угла не отрицателен: f’(x)=tgφ≥0 (рис. а). Если функция f(x) убывает на отрезке [a, b], то угол наклона касательной - тупой (или - в отдельных точках - ка­сательная горизонтальна); тангенс этого угла не положителен (рис. 6). Аналогично иллюстрируется и вторая часть теоремы. Теорема позволяет судить о возрастании или убывании функции по знаку ее производной.

2. Экстремум необходимое и достаточное условие существования экстремума функции.

Теорема 1 (необходимое условие существования экстpeмума). Если дифференци­руемая    функция    y=f(x)    имеет в точке x = х2 максимум или мини­мум, то ее производная обращается в нуль в этой точке, т. e. f' (х2) = 0.

Доказатeльcтво. Предпо­ложим для определенности, что в точке x=x1 функция имеет максимум. Тогда при достаточно ма­лых по абсолютному значению приращениях Δx(Δx≠0) имеет место т. е. .

Но в таком случае знак отношения определяется знаком , а именно: при <0,  при

Согласно определению производной имеем: .

Если f(x) имеет производную при x = x1 то предел, стоящий справа, не зависит от того, как : стремится к нулю (оставаясь положительным или отрицательным).

Но если 0, оставаясь отрицательным, то .

 Если же →0, оставаясь положительным, то .

Так как f'(x1) есть определенное число, не зависящее от способа стремления  к нулю, то два последних неравенства совместимы только в том случае, если .

   Аналогичным образом теорема доказывается и для  случая  мини­мума функции.

   Доказанной теореме соответствует следующий очевидный геометрический факт: если в точках максимума и минимума функция f(x) имеет производную, то касательная к кривой y=f(x) в этих точках параллельна оси Ох. Действительно, из того, что f’(x1)=tgφ=0, где φ - угол между касательной и осью Ох, следует, что φ = 0 (рис.).

   Из теоремы 1 непосредственно вытекает следствие: если при всех рассматриваемых значениях аргумента x функция f(x) имеет произ­водную, то она может иметь экстремум (мак­симум или минимум) только при тех значениях, при которых производная обращается в нуль.
Обратное заключение неверно: не при всяком значении, при котором производная обращается в нуль, обязательно существует максимум или
минимум. Так, на рис. изображена функция, у которой при x=x3 производная обращается в нуль    (касательная    горизонтальна),   но   в   этой точке   функция  не   имеет  ни  максимума,   ни  минимума.   Точно   так же функция y = x3 (рис.) при  x =0  имеет   производную,   рав­ную нулю: (y’)x=0=(3x2)x=0=0, но  в  этой  точке функция   не  имеет  ни максимума, ни минимума. Действительно, как бы ни была близка точка x к точке O, всегда x3 0.

   Мы исследовали тот случай, когда функция во всех точках некоторого отрезка имеет производную. Как же обстоит дело в тех точках, где производная не существует? Мы покажем на примерах, что в та­ких точках может быть или максимум, или минимум, но может и не быть ни того, ни другого.

   Таким образом, функция может иметь экстремум лишь в двух случаях: либо в тех точках, где производная существует и равна нулю; либо в тех точках, где производная   не   существует. Заметим, что если производная не существует в какой-либо точке (но существует в близлежащих точках), то в этой точке производная терпят pазpыв.

    Значения аргумента, при которых производная обращается в нуль или терпит разрыв, называются критическими точками или крити­ческими значениями.

Из предыдущего следует, что не при всяком критическом значе­нии функция имеет максимум или минимум. Однако, если в какой-либо точке функция достигает максимума или минимума, то эта точка наверняка является критической. Поэтому для разыскания экстремумов функции поступают следующим образом: находят все критические точки, а затем, исследуя отдельно каждую критическую точку, выясняют, будет ля в этой точке максимум или минимум функции или же не будет ни максимума, ни минимума.

   Исследование функции в критических точках опирается на сле­дующие теоремы.

Теорема 2 (достаточные условия существования экстремума). Пусть функция f(x) непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку x1, u дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки x1). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак c плюса на минус, то при х= х1 функция имеет мак­симум. Если же при переходе через точку х1 слева направо произ­водная меняет знак c минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум. Таким образом, то в точке х1 функция имеет максимум; то функция имеет минимум.

   Таким образом, если а)   то в точке x1 функции имеет максимума; если б)    то в точке x1 функция имеет минимум.

При этом надо иметь в виду, что условия а) или б) должны выполняться для всех значений x, достаточно близких к х1, т. e. во всех точках некоторой достаточно малой окрестности критической точки x1.

Доказательство. Предположим сначала, что производная меняет знак c плюса на минус, т. e. что для всех x, достаточно близких к точке x1, имеем:

f’(x)>0 при x

f’(x)x1.

Применяя теорему Лагранжа к разности f(x) — f(x1), получим

f(x)-f(x1)=f’(ξ)(x-x1), где ξ есть точка, лежащая между x и x1.

1) Пусть x < x1; тогда ξ0, f’(ξ)(x-x1)<0 и, следовательно, f(x)-f(x1)<0 или f(x)

2) Пусть x>x1 тогда ξ

   Соотношения (1) и (2) показывают, что для всех значений x, достаточно близких к x1, значения функции меньше, чем значения функции в точке x1. Следовательно, в точке x1 функция f(x) имеет максимум.

Аналогичным образом доказывается вторая часть теоремы о до­статочном условии минимума.

4. Асимптоты.

Определение. Прямая А называется асимптотой кривой, если расстояние δ от переменной М кривой до этой прямой при удалении точки М в бесконечность стремится к нулю (рисунки).

 Мы будем в дальнейшем различать асимптоты вертикальные (т. е. параллельные оси ординат) и наклонные (т. е. не параллельные оси ординат).

1. Вертикальные асимптоты. Из определения асимптоты следует, что если , или , или , то прямая x=a есть асимптота кривой y=f(x); и обратно, если прямая x=a есть асимптота, то выполняется одно из написанных равенств.

   Следовательно, для отыскания вертикальных асимптот нужно найти такие значения x=a, при приближении к которым функция y=f(x) стремится к бесконечности. Тогда прямая x=a будет вертикальной асимптотой.

Пример 1. Кривая  имеет вертикальную асимптоту x=5, так как  при (рисунок).

2. Наклонные асимптоты. Пусть кривая y=f(x) имеет наклонную асимптоту, уравнение которой имеет вид  (1). Определим числа k и b. Пусть M(x, y) – точка, лежащая на кривой, и N(x, ) – точка, лежащая на асимптоте. Длина отрезка MP равна расстоянию от точки M до асимптоты. По условию  (2). Если обозначим через  угол наклона асимптоты к оси OX, то из  найдем: . Так как  - постоянный угол (не равный ), то в силу предыдущего равенства  (2’), и наоборот, из равенства (2’) следует равенство (2). Но , и равенство (2’) принимает вид  (3).

Итак, если прямая (1) есть асимптота, то выполняется равенство (3), и наоборот, если при постоянных k и b выполняется равенство (3), то прямая y=kx+b есть асимптота. Определим теперь k и b. Вынося x за скобки в равенстве (3), получаем: Так как , то должно выполняться равенство . При b постоянном. Следовательно, или (4). Зная k, из равенства (3) находим b: (5).

Итак, если прямая есть асимптота, то k и b находятся по формулам (4) и (5). обратно, если существуют пределы (4) и (5), то выполняется равенство (3) и прямая  есть асимптота. Если хотя бы один из пределов (4) или (5) не существует, кривая асимптоты не имеет.

5. Схема полного исследования функции и построения графиков.

   Под «исследованием функции» обычно понимается разыскание:

1)     естественной области существования функции;

2)     точек разрыва функции;

3)     интервалов возрастания и убывания функции;

4)     точек максимума и минимума, а также максимальных и минимальных значений функции;

5)     областей выпуклости и вогнутости графика, точек перегиба;

6)     асимптот графика функции.

   На основании проведенного исследования строится график функции (иногда целесообразно намечать элементы графика параллельно с исследованием).

   Замечание 1. Если исследуемая функция y=f(x) – четная, т. е. такая, что при изменении знака аргумента значение функции не изменяется, т. е. если f(-x)=f(x), то достаточно исследовать функцию и построить ее график при положительных значениях аргумента, принадлежащих области определения функции. При отрицательных значениях аргумента график функции строится на том основании, что график четной функции симметричен относительно оси координат.

   Замечание 2. Если функция y=f(x) – нечетная, т. .е. такая, что при изменении аргумента функция меняет знак, т. е. если f(-x)=-f(x), то эту функцию достаточно исследовать при положительных значениях аргумента. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

   Замечание 3. Так как знание одних свойств функции позволяет сделать вывод о других ее свойствах, то иногда порядок исследования целесообразно выбирать, исходя из конкретных особенностей данной функции. Так, например, если мы выяснили, что заданная функция непрерывна и дифференцируема, и нашли точки максимума и минимума этой функции, то тем самым мы уже определил и области возрастания и убывания функции.

6. Точка перегиба. Необходимое и достаточное условие существования точки перегиба.

   Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой, называется точкой перегиба кривой. Очевидно, что в точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, так как с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой стороны – над нею.

   Установим теперь достаточное условия того, что данная точка кривой является точкой перегиба.

   Теорема. Пусть кривая определяется уравнением y=f(x). Если f”(a)=0 или f”(a) не существует и при переходе через значение x=a производная f”(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой x=a есть точка перегиба.

   Доказательство. 1) Пусть f”(x)<0 при x0 при x>a.

   2) Если f”(x)>0 при xb – выпуклостью вверх. Следовательно, точка B кривой с абсциссой x=и есть точка перегиба.

 
matematika-f.doc [ b] (cкачиваний: 5)
  20 сентября 2008,  admin
 (голосов: 0)
Уважаемый посетитель, Вы зашли на сайт как незарегистрированный пользователь. Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо войти на сайт под своим именем.

Популярные новости